Lavez les fenouils. Coupez-les en 2 puis en lanières et enfin en dés. Épluchez l'oignon, émincez-le finement. Dans une sauteuse, mettez l'huile puis faites revenir l'oignon. Ajoutez les dés de fenouils, salez, poivrez, ajoutez l'eau, les graines de fenouil, le concentré de tomates et faites cuire à couvert pendant 1 heure. Éventuellement, ajoutez de l'eau en cours de cuisson. Les dés de fenouils deviennent fondants. Réservez le fenouil au chaud dans un plat de service.

Préparez un cul-de-poule avec de l'eau froide : celui-ci servira à y déposer les œufs après cuisson.

Faites chauffer 2 L d'eau dans une grande poêle ou un faitout. Cassez les œufs et mettez-les dans 6 ramequins différents ou 6 verres. Quand l'eau bout, ajoutez le vinaigre blanc, baissez le feu afin qu'il n'y ait plus qu'un léger frémissement dans la poêle ou le faitout. Versez le contenu de chaque ramequin dans la poêle ou le faitout délicatement un à un. Avec une spatule, rabattez le blanc sur le jaune au bout d'une minute environ et poursuivez la cuisson : celle-ci ne doit pas dépasser 4 minutes. Puis, à l'aide d'une écumoire, sortez les œufs et déposez-les dans le cul-de-poule contenant l'eau froide.

Sortez le plat de service contenant les fenouils. Sortez les œufs et déposez-les sur le lit de fenouils. Salez, ajoutez du piment d'espelette sur chaque œuf. Servez aussitôt.